高等数学—元素和极限 | Alan Hou的个人博客

实数的定义

高数->连续

线性代数->离散

概率统计

R 实数

Z 整数

Q 有理数

$q \over p$

$且 q,p \in Z$

分划：

全集为K

$A \bigcup B = K$ $A \bigcap B = \emptyset$

戴德金分划：

将全集Q分为A,B两个集合

s.t.

$A \bigcup B = Q$

$A \bigcap B = \emptyset$

$\forall a \in A, b \in B$ 有a<b

实数的定义

有理分化：

1. A中存在最大值且B中不存在最小值

2. A中不存在最大值且B中存在最小值

无理分化：

3. A中不存在最大值且B中不存在最小值

实数性质：

1）稠密性

2）有序性

…

引理1：单调有界序列存在极限

R的元素个数

自然数N，整数Z，有理数Q，实数R

势：集合元素的个数

等势：A, B集合间元素可一一对应

证明：自然数个数 = 整数个数

整数个数 = 有理数个数

希尔伯特旅馆

可列/可数

自然数个数少于实数的个数

反证法：假设N与R有某种一一对应

先将R与(0,1)实数一一对应

再将N与(0,1)实数对应

1 <-> 0.a1 a2 a3..

2 <-> 0.b1 b2 b3..

ai,bi 属于 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

构造出一个不在此序列的(0,1)上的实数x，引入中间变量

0.a1 b2 c3 d4 e5…

将中间变量第一位做修正：若某位≠1，则变为1，

若某位=1，则变为2

则x不在原序列中

设x在第N位，原始中间变量第N位与x的第N位是否相同

$tan( xπ – {π \over 2} ) = y$

无穷大之比较

$n \in N n-> ∞$

n趋于无穷大时的大小关系

$\ln n < n^{1 \over a_1} < n < n^{a_2} < {a_3 ^n} < n! < n^n$

其中

$a_1, a_2, a_3 > 1$

证明

$a_3^n < n! a_3>1$

$取k>[a_3]+1$ 中括号表示取整，在k以下时乘积我们假设为常量C

$0 \le {a_3^n \over n!} \le C \cdot {a_3 \over n}$ 等号右边的值趋向于0，因而证得

Stirling近似

$n!\approx \sqrt{2\pi n}({n \over e})^n$

极限的定义

想要任意近，只要足够近

定义函数(εδ语言)

$\lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L$

$\forall \epsilon, \exists \delta$
$s.t. |x-x_o|<\delta时$
$有 |f_{(x)}-L|<\epsilon$

极限的四则运算

高等数学—元素和极限

图片来自百度

极限的复合

$若\lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L_1$
$\lim_{x\to L_1} {g_{(x)}}=L_2$
$则\lim_{x\to x_0} {g_{(f_{(x)})}}=L_2$

极限的连续性

$f_{(x)}$ 在 $x_0$ 处连续：

$\lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=f_{(x_0)}$

傅里叶级数

实数的定义

极限的定义

Hi，您需要填写昵称和邮箱！