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高等数学—元素和极限

Posted by Alan on March 18, 2018 in 大数据, 学习笔记 |

实数的定义

高数->连续
线性代数->离散
概率统计
R 实数
Z 整数
Q 有理数 \( q \over p\)\( 且 q,p \in Z \)
分划:
全集为K

\( A \bigcup B = K \) \( A \bigcap B = \emptyset \)

戴德金分划:

将全集Q分为A,B两个集合

s.t.
\( A \bigcup B = Q \)
\( A \bigcap B = \emptyset \)
\( \forall a \in A, b \in B \) 有a<b
实数的定义
有理分化:
1. A中存在最大值且B中不存在最小值
2. A中不存在最大值且B中存在最小值
无理分化:
3. A中不存在最大值且B中不存在最小值
实数性质:
1)稠密性
2)有序性
引理1:单调有界序列存在极限
R的元素个数
自然数N,整数Z,有理数Q,实数R
势:集合元素的个数
等势:A, B集合间元素可一一对应
证明:自然数个数 = 整数个数
整数个数 = 有理数个数
希尔伯特旅馆
可列/可数
自然数个数少于实数的个数
反证法:假设N与R有某种一一对应
先将R与(0,1)实数一一对应
再将N与(0,1)实数对应
1 <-> 0.a1 a2 a3..
2 <-> 0.b1 b2 b3..
ai,bi 属于 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
构造出一个不在此序列的(0,1)上的实数x,引入中间变量
0.a1 b2 c3 d4 e5…
将中间变量第一位做修正:若某位≠1,则变为1,
若某位=1,则变为2
则x不在原序列中
设x在第N位,原始中间变量第N位与x的第N位是否相同
\( tan( xπ – {π \over 2} ) = y \)
无穷大之比较
\( n \in N  n-> ∞ \)
n趋于无穷大时的大小关系
\( \ln n < n^{1 \over a_1} < n < n^{a_2} < {a_3 ^n} < n! < n^n \)
其中\( a_1, a_2, a_3 > 1 \)
证明\( a_3^n < n!  a_3>1 \)
\( 取k>[a_3]+1 \) 中括号表示取整,在k以下时乘积我们假设为常量C
\( 0 \eqslantless {a_3^n \over n!} \eqslantless C \cdot {a_3 \over n} \) 等号右边的值趋向于0,因而证得
Stirling近似
 $$n!\approx \sqrt{2\pi n}({n \over e})^n$$

极限的定义

想要任意近,只要足够近

定义函数(εδ语言)

\( \lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L \)

\( \forall \epsilon, \exists \delta \)
\( s.t. |x-x_o|<\delta时 \)
\( 有 |f_{(x)}-L|<\epsilon \)

极限的四则运算

极限的四则运算

图片来自百度

极限的复合

\( 若\lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L_1 \)
\( \lim_{x\to L_1} {g_{(x)}}=L_2 \)
\( 则\lim_{x\to x_0} {g_{(f_{(x)})}}=L_2 \)

极限的连续性

\( f_{(x)} \) 在 \(x_0 \) 处连续:

\( \lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=f_{(x_0)} \)

傅里叶级数

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