实数的定义
高数->连续
线性代数->离散
概率统计
R 实数
Z 整数
Q 有理数 \( q \over p\)\( 且 q,p \in Z \)
分划：
全集为K
\( A \bigcup B = K \) \( A \bigcap B = \emptyset \)
戴德金分划：
将全集Q分为A,B两个集合
s.t.
\( A \bigcup B = Q \)
\( A \bigcap B = \emptyset \)
\( \forall a \in A, b \in B \) 有a<b
实数的定义
有理分化：
1. A中存在最大值且B中不存在最小值
2. A中不存在最大值且B中存在最小值
无理分化：
3. A中不存在最大值且B中不存在最小值
实数性质：
1）稠密性
2）有序性
…
引理1：单调有界序列存在极限
R的元素个数
自然数N，整数Z，有理数Q，实数R
势：集合元素的个数
等势：A, B集合间元素可一一对应
证明：自然数个数 = 整数个数
整数个数 = 有理数个数
希尔伯特旅馆
可列/可数
自然数个数少于实数的个数
反证法：假设N与R有某种一一对应
先将R与(0,1)实数一一对应
再将N与(0,1)实数对应
1 <-> 0.a1 a2 a3..
2 <-> 0.b1 b2 b3..
ai,bi 属于 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
构造出一个不在此序列的(0,1)上的实数x，引入中间变量
0.a1 b2 c3 d4 e5…
将中间变量第一位做修正：若某位≠1，则变为1，
若某位=1，则变为2
则x不在原序列中
设x在第N位，原始中间变量第N位与x的第N位是否相同
\( tan( xπ – {π \over 2} ) = y \)
无穷大之比较
\( n \in N n-> ∞ \)
n趋于无穷大时的大小关系
\( \ln n < n^{1 \over a_1} < n < n^{a_2} < {a_3 ^n} < n! < n^n \)
其中\( a_1, a_2, a_3 > 1 \)
证明\( a_3^n < n! a_3>1 \)
\( 取k>[a_3]+1 \) 中括号表示取整，在k以下时乘积我们假设为常量C
\( 0 \le {a_3^n \over n!} \le C \cdot {a_3 \over n} \) 等号右边的值趋向于0，因而证得
Stirling近似
$$n!\approx \sqrt{2\pi n}({n \over e})^n$$
极限的定义
想要任意近，只要足够近
定义函数(εδ语言)
\( \lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L \)
\( \forall \epsilon, \exists \delta \)
\( s.t. |x-x_o|<\delta时 \)
\( 有 |f_{(x)}-L|<\epsilon \)
极限的四则运算
图片来自百度
极限的复合
\( 若\lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=L_1 \)
\( \lim_{x\to L_1} {g_{(x)}}=L_2 \)
\( 则\lim_{x\to x_0} {g_{(f_{(x)})}}=L_2 \)
极限的连续性
\( f_{(x)} \) 在 \(x_0 \) 处连续：
\( \lim_{x\to x_0} {f_{(x)}}=f_{(x_0)} \)
傅里叶级数
